Es coneix com a expressions algebraiques a la combinació de lletres, signes i números en l'operacions matemàtiques. En general, les lletres representen quantitats desconegudes i són cridades variables o incògnites. Les expressions algebraiques permeten les traduccions a les expressions de el llenguatge matemàtic de el llenguatge habitual. Les expressions algebraiques sorgeixen de l'obligació de traduir valors desconeguts a nombres que estan representats per lletres. La branca de les matemàtiques responsable de l'estudi d'aquestes expressions en què apareixen números i lletres, així com signes d'operacions matemàtiques, és Àlgebra.
Què són les expressions algebraiques
Taula de Continguts
Com es va esmentar anteriorment, aquestes operacions no són més que la combinació de lletres, números i signes que, posteriorment, es fan servir en diferents operacions de tipus matemàtic. En les expressions algebraiques, les lletres tenen el comportament dels nombres i quan aquestes prenen aquest curs, s'empren entre una i dues lletres.
Sense importar la expressió que es tingui, el primer que s'ha de fer és simplificar, això s'aconsegueix utilitzant les propietats de l'o les operacions, mateixes que són equivalents a les propietats numèriques. Per trobar el valor numèric d'una operació algebraica, s'ha de substituir la lletra per un nombre determinat.
Es poden realitzar molts exercicis sobre aquestes expressions i es faran en aquest apartat per millorar l'enteniment del tema en qüestió.
Expressions algebraiques exemples:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X +10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
llenguatge algebraic
El llenguatge algebraic és aquell que empra símbols i lletres per representar nombres. La seva funció principal és establir i estructurar un llenguatge que ajudi a generalitzar les diferents operacions que tenen lloc dins de l'aritmètica on només ocorren els nombres i les operacions aritmètiques elementals (+ -x%).
El llenguatge algebraic té com a finalitat, establir i dissenyar un idioma que ajudi a generalitzar les diferents operacions que es desenvolupin dins de l'aritmètica, on només es fan servir els nombres i les operacions matemàtiques bàsiques: suma (+), resta (-), multiplicació (x) i divisió (/).
L'idioma algebraic es caracteritza per la seva precisió, ja que és molt més concret que el llenguatge numèric. A través d'ell es poden expressar enunciats de manera breu. Exemple: el conjunt dels múltiples de 3 és (3, 6, 9, 12…) s'expressa 3n, on n = (1, 2, 3, 4…).
Permet expressar nombres desconeguts i realitzar operacions matemàtiques amb ells. Exemple, la suma de dos nombres s'expressa així: a + b. Admet l'expressió de relacions i propietats numèriques de caràcter general.
Exemple: la propietat commutativa s'expressa així: axb = bx a. A l'escriure utilitzant aquest llenguatge es pot manipular quantitats desconegudes amb símbols senzills d'escriure, permetent la simplificació de teoremes, formulació d'equacions i inequacions i l'estudi de com resoldre-les.
Signes i símbols algebraics
En àlgebra, s'empren tant símbol de signes en la teoria de conjunts i aquests constitueixen o representen equacions, sèries, matrius, etc. Les lletres són expressades o denominades com a variables, ja que es fa servir la mateixa lletra en altres problemes i, el seu valor troba diferents variables. Entre algunes de les expressions algebraiques classificació es troben els següents:
fraccions algebraiques
Es coneix com una fracció algebraica la que està representada pel quocient de dos polinomis que mostren un comportament similar a les fraccions numèriques. En matemàtiques, es pot operar amb aquestes fraccions realitzant multiplicacions i divisions. Per tant, s'ha d'expressar que la fracció algebraica està representada pel quocient de dues expressions algebraiques on el numerador és el dividend i el denominador el divisor.
Entre les propietats de les fraccions algebraiques es pot ressaltar que si el denominador es divideix o multiplica per la mateixa quantitat diferent de zero, la fracció no es veurà alterada. La simplificació d'una fracció algebraica consisteix en transformar-la en una fracció que ja no es pot reduir, i és necessari factoritzar els polinomis que componen el numerador i el denominador.
Les expressions algebraiques classificació es reflecteixen en els següents tipus: equivalent, simple, correcte, impropi, compost de numerador o denominador nul. Llavors veurem cada un d'ells.
equivalents
S'està davant d'aquest vessant quan el producte creuat és el mateix, és a dir quan el resultat de les fraccions és igual. Per exemple, d'aquestes dues fraccions algebraiques: 2/5 i 4/10 seran equivalents si 2 * 10 = 5 * 4.
simples
Són aquelles en què el numerador i el denominador representen expressions racionals senceres.
pròpies
Són fraccions simples en què el numerador és menor que el denominador.
impròpies
Són fraccions simples en les quals el numerador és igual o major que el denominador.
compostes
Són les formades per una o més fraccions que es poden situar en el numerador, el denominador o tots dos.
De numerador o denominador nul
Es presenta quan el valor és 0. En el cas de tenir una fracció 0/0 serà indeterminat. A l'usar les fraccions algebraiques per a realitzar operacions matemàtiques, s'han de tenir en compte algunes característiques de les operacions amb fraccions numèriques, per exemple, per iniciar s'ha de trobar el mínim comú múltiple quan els denominadors són de dígits diferents.
Tant en la divisió com en la multiplicació, les operacions es realitzen i es duen a terme la mateixa manera que amb les fraccions numèriques, ja que aquestes han de simplificar prèviament sempre que li sigui possible.
monomis
Els monomis són expressions algebraiques àmpliament utilitzades que compten amb una constant que es diu coeficient i una part literal, que es representa amb lletres i es pot elevar a diferents potències. Per exemple, el monomial 2x² té 2 com a seu coeficient i x² és la part literal.
En diverses ocasions, la part literal pot estar composta per una multiplicació d'incògnites, per exemple en el cas de 2xy. Cadascuna d'aquestes lletres es diu indeterminada o variables. Un monomi és un tipus de polinomi amb un sol terme, a més, hi ha la possibilitat d'estar davant d'monomis semblants.
Elements dels monomis
Donat el monomi 5x ^ 3; es distingeixen els següents elements:
- Coeficient: 5
- Part literal: x ^ 3
El producte de monomis és el coeficient, el qual es refereix a l'nombre que apareix multiplicant la part literal. En general, es col·loca a el principi. Si el producte de monomis té valor 1, no està escrit, i mai pot ser zero, ja que l'expressió completa tindria valor zero. Si hi ha alguna cosa que s'ha de saber dels monomis exercicis, és que:
- Si un monomi no té un coeficient, és igual a un.
- Si qualsevol terme no té exponent, és igual a un.
- Si alguna part literal no està present, però és necessària, es considera amb un exponent de zero.
- Si res d'això concorre, llavors no s'està davant de monomis exercicis, fins i tot es podria dir que hi ha la mateixa regla amb els exercicis entre polinomis i monomis.
Suma i resta de monomis
Per poder realitzar sumes entre dos monomis lineals, cal mantenir la part lineal i sumar els coeficients. En les restes de dos monomis lineals, s'ha de mantenir, a l'igual que en les sumes, la part lineal per poder restar els coeficients, després es multipliquen els coeficients i se sumen els exponents amb les mateixes bases.
Multiplicació de monomis
Es tracta d'un monomi el coeficient és el producte o resultat dels coeficients, les quals tenen una part literal que ha estat obtinguda a través de la multiplicació de potències que tenen exactament la mateixa base.
Divisió de monomis
No és més que un altre monomi el coeficient és el quocient dels coeficients obtinguts que, a més, tenen una part literal obtinguda de les divisions entre les potències que tenen exactactamente la mateixa base.
polinomis
Quan parlem de polinomis, es fa referència a una operació algebraica de sumes, restes i multiplicacions ordenades fetes de variables, constants i exponents. En àlgebra, un polinomi pot tenir més d'una variable (x, i, z), constants (sencers o fraccions) i exponents (que només poden ser nombres enters positius).
Els polinomis estan formats per termes finits, cada terme és una expressió que conté un o més dels tres elements amb els que estan fets: variables, constants o exponents. Per exemple: 9, 9x, 9xy són tots termes. Una altra forma d'identificar els termes és que estan separats per sumes i restes.
Per resoldre, simplificar, sumar o restar polinomis, cal ajuntar els termes amb les mateixes variables que, per exemple, els termes amb x, els termes amb "i" i els termes que no tenen variables. A més, és important observar el signe que està abans de el terme que determinarà si afegeix, resta o multiplica. Els termes amb les mateixes variables s'agrupen, afegeixen o resten.
Tipus de polinomis
El nombre de termes que té un polinomi indicarà quin tipus de polinomi és, per exemple, si hi ha un polinomi d'un sol terme, llavors s'està davant d'un monomi. Un clar exemple d'això és uns dels polinomis exercicis (8xy). També hi ha el polinomi de dos termes, el qual és anomenat binomial i s'identifica pel següent exemple: 8xy - 2y.
Finalment, el polinomi de tres termes, els quals es coneixen com trinomis i s'identifica per un dels polinomis exercicis de 8xy - 2y + 4. Els trinomis són un tipus d'expressió algebraica formada per la suma o la diferència de tres termes o monomis (monomis semblants).
També és important parlar d'el grau de polinomi, ja que si aquest és d'una sola variable és el major exponent. El grau d'un polinomi amb més d'una variable es determina mitjançant el terme amb el major exponent.
Suma i resta de polinomis
La suma de polinomis implica combinar termes. Els termes similars es refereixen als monomis que tenen la mateixa variable o variables elevades a la mateixa potència.
Hi ha diferents maneres de realitzar càlculs amb polinomis, entre ells, la suma de polinomis, la qual es pot fer de dues maneres diferents: horitzontal i verticalment.
- Suma de polinomis en horitzontal: és emprada per fer operacions horitzontalment, valgui la redundància, però primer s'escriu un polinomi i després se segueix en la mateixa línia. Posterior a això, s'escriu l'altre polinomi que es va a sumar o restar i finalment, s'agrupen els termes similars.
- Suma de polinomis vertical: s'aconsegueix escrivint el primer polinomi de manera ordenada. Si aquest es troba incomplet, és important deixar els buits dels termes que falten lliures. Després, s'escriu el polinomi següent just sota l'anterior, d'aquesta manera, el terme similar a la de dalt va a quedar sota. Finalment s'agrega cada columna.
És important afegir que per sumar dos polinomis, els coeficients dels termes de el mateix grau s'han de sumar. El resultat d'agregar dos termes de el mateix grau, és un altre terme de el mateix grau. Si falta algun terme de qualsevol dels graus, es pot completar amb 0. I generalment s'ordenen de major a menor grau.
Com es va esmentar anteriorment, per a realitzar la suma de dos polinomis, només es necessita sumar els termes de mateix un grau. Les propietats d'aquesta operació es conformen per:
- Propietats associatives: en les quals la suma de dos polinomis es resol afegint els coeficients que acompanyen les x que s'eleven a la mateixa potència.
- Propietat commutativa: la qual altera l'ordre de la suma i no s'aconsegueix deduir el resultat. Els elements neutrals, els quals tenen tots els seus coeficients igual a 0. Quan s'afegeix un polinomi a l'element neutre, el resultat és igual a el primer.
- Propietat oposada: formada pel polinomi que té tots els coeficients inversos als coeficients de l'polinomi agregat. així, a l'realitzar l'operació de suma, el resultat és el polinomi nul.
Pel que fa a la resta de polinomis, (operacions amb polinomis) resulta imperatiu fer l'agrupació de monomis d'acord a les característiques que posseeixen i començar amb la simplificació dels que van resultar semblants. Les operacions amb polinomis es realitzen sumant l'oposat de l'subtrahend a l'minuend.
Una altra manera eficaç de fer la resta polinomis, és escriure l'oposat de cada polinomi sota de l'altre. Així, els monomis semblants queden en columnes i es procedeix a sumar-los. No importa quina tècnica es dugui a terme, a la fin, el resultat sempre serà el mateix, és clar, si es realitza correctament.
Multiplicació de polinomis
Multiplicació de monomis o exercicis entre polinomis i monomis, és una operació que es porta a terme per trobar el producte resultant, entre un monomi (expressió algebraica basada en la multiplicació d'un nombre i una carta elevada a un exponent enter i positiu) i una altra expressió, si aquest és un terme independent, un altre monomi o fins i tot un polinomi (suma finita de monomis i termes independents).
No obstant això, com passa amb gairebé totes les operacions matemàtiques, la multiplicació de polinomis també té una sèrie de passos que s'han de seguir a l'resoldre l'operació proposada, que es pot resumir en els següents procediments:
El primer que s'ha de fer és multiplicar el monomi per la seva expressió (multiplicar els signes de cada un dels seus termes). Posterior a això, es multipliquin els valors de coeficients i a l'trobar el valor en aquesta operació, se li afegeix el literal dels monomis oposats en els termes. Després s'anota cada resultat en ordre alfabètic i, finalment, s'agrega cada exponent, mateixos que s'ubiquen en els literals de la base.
Divisió de polinomis
També conegut com el mètode de Ruffini. Ens permet dividir un polinomi entre un binomi ia més permet localitzar les arrels d'un polinomi per factoritzar en binomis. En altres paraules, aquesta tècnica possibilita dividir o descompondre un polinomi algebraic de grau n, en un binomi algebraic, i després en un altre polinomi algebraic de grau n-1. I perquè això sigui possible es necessita saber o conèixer almenys una de les arrels de l'polinomi únic, amb el propòsit que la separació sigui exacta.
És una tècnica eficaç per dividir un polinomi per un binomi de la forma x - r. La regla de Ruffini és un cas especial de la divisió sintètica quan el divisor és un factor lineal. El mètode de Ruffini va ser descrit pel matemàtic, professor i metge italià Paolo Ruffini en l'any de 1804, que a més d'inventar el famós mètode denominat regla de Ruffini, que ajuda a trobar els coeficients de el resultat de la fragmentació d'un polinomi pel binomi; també va descobrir i va formular aquesta tècnica sobre el càlcul aproximat de les arrels de les equacions.
Com sempre, quan es tracta d'una operació algebraica, la Regla de Ruffini implica una sèrie de passos que s'han de complir per arribar a el resultat desitjat, en aquest cas: trobar el quocient i la resta inherents a la divisió de qualsevol tipus de polinomi i un binomi de manera x + r.
En primer lloc, a l'hora de donar inici amb l'operació, cal revisar les expressions per verificar o determinar si realment es tracten com polinomis i binomis que responen a la forma esperada pel mètode de la Regla de Ruffini.
Una vegada que es verifiquin aquests passos, es procedeix a ordenar el polinomi (en ordre descendent). Finalitzat aquest pas, es té en compte únicament els coeficients dels termes de l'polinomi (fins l'independent) col·locant-los en fila d'esquerra a dreta. Es deixen alguns espais per als termes que calguin (només en cas d'un polinomi incomplet). Es col·loca el signe de galera a l'esquerra de la fila, la qual està conformada per coeficients de l'polinomi de dividends.
A la part esquerra de la galera, es procedeix a col·locar el terme independent de l'binomi, que, ara, és divisor i el seu signe és invers. L'independent es multiplica pel primer coeficient de l'polinomi, registrant-se així en una segona fila sota de el primer. Després es resta el segon coeficient i el producte de el terme independent monomial pel primer coeficient.
El terme independent de l'binomi és multiplicat pel resultat de la resta anterior. Però a més, es col·loca en la segona fila, la qual li correspon a la cambra coeficient. L'operació es repeteix fins arribar a tots els termes. La tercera fila que s'ha obtingut en base a aquestes multiplicacions es pren com un quocient, amb l'excepció del seu últim terme, que es considerarà com la resta de la divisió.
El resultat s'expressa, acompanyant cada coeficient de la variable i el grau que li correspon, començant a expressar-los amb un grau menor que el que tenien originalment.
- Teorema de la resta: és un mètode pràctic que es fa servir per dividir un polinomi P (x) per un altre la forma és xa; en què només s'obté el valor de la resta. Per aplicar aquesta regla, es segueixen els següents passos. S'escriu el dividend polinomial sense completar o ordenar, després es reemplaça la variable x de l'dividend amb el valor oposat de el terme independent de l'divisor. I, finalment, les operacions es resolen combinades.
El teorema de la resta és un mètode pel qual podem obtenir el residu d'una divisió algebraica però en la qual no cal fer cap divisió.
- Mètode de Ruffini: el mètode o regla de Ruffini és un mètode que ens permet dividir un polinomi entre un binomi ia més permet localitzar les arrels d'un polinomi per factoritzar en binomis. En altres paraules aquesta tècnica possibilita dividir o descompondre un polinomi algebraic de grau n, en un binomi algebraic, i després en un altre polinomi algebraic de grau n-1. I perquè això sigui possible es necessita saber o conèixer almenys una de les arrels de l'polinomi únic, amb el propòsit que la separació sigui exacta.
- Arrels de polinomis: les arrels d'un polinomi són certes números que fan que un polinomi valgui zero. També podem dir que les arrels completes d'un polinomi de coeficients enters, seran divisors de el terme independent. Quan resolem un polinomi igual a zero, obtenim les arrels de l'polinomi com solucions. Com propietats de les arrels i els factors dels polinomis podem dir que els zeros o arrels d'un polinomi estan pels divisors de el terme independent que pertany a l'polinomi.
Això ens permet esbrinar la resta de la divisió d'un polinomi p (x) entre un altre de la forma xa, per exemple. D'aquest teorema es desprèn que un polinomi p (x) és divisible per xa només si a és una arrel de l'polinomi, només si i només si p (a) = 0. Si C (x) és el quocient i R (x) és el residu de la divisió de qualsevol polinomi p (x) entre un binomi que seria (xa) el valor numèric de p (x), per x = a, és igual a la resta de la seva divisió entre x.
Llavors direm que: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). En general, per obtenir la resta d'una divisió entre Xa, és més convenient aplicar la regla de Ruffini de reemplaçar la x. Per tant, el teorema de la resta és el mètode més adequat per a resoldre problemes.
En el món matemàtic, a regla de Ruffini és una tècnica eficaç per dividir un polinomi per un binomi de la forma x - r. La regla de Ruffini és un cas especial de la divisió sintètica quan el divisor és un factor lineal.
El mètode de Ruffini va ser descrit pel matemàtic, professor i metge italià Paolo Ruffini en l'any de 1804, que a més d'inventar el famós mètode denominat regla de Ruffini, que ajuda a trobar els coeficients de el resultat de la fragmentació d'un polinomi pel binomi; també va descobrir i va formular aquesta tècnica sobre el càlcul aproximat de les arrels de les equacions.
Després, per a cada arrel, per exemple, de l'tipus x = a correspon a un binomi de el tipus (xa). És possible expressar un polinomi en factors si ho expressem com un product o de tots els binomis de l'tipus (xa) que corresponen a les arrels, x = a, que resulten. S'ha de tenir en compte que la suma dels exponents dels binomis és igual a el grau de l'polinomi, també s'ha de prendre en compte que qualsevol polinomi que no tingui un terme independent s'admetrà com a arrel x = 0, en una altra forma, ha d'admetre com un factor x.
Anomenarem a un polinomi «cosí» o «Irreductible» quan no hi ha possibilitat de descompondre en factors.
Per aprofundir en el tema hem de tenir clar el teorema fonamental de l'àlgebra, que expressa que n'hi ha prou que un polinomi en una variable no constant i coeficients complexos, posseeix tantes arrels com el seu grau, ja que les arrels tenen els seus multiplicitats. Es confirma amb això que qualsevol equació algebraica de grau n posseeix n solucions complexes. Un polinomi de grau n té un màxim de n arrels reals.
Exemples i exercicis
En aquest apartat es col·locaran algunes expressions algebraiques exercicis resolts de cada un dels temes abastats en aquest post.
Expressions algebraiques exercicis:
- X ^ 2 - Comentaris 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Suma de polinomis
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x +3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Resta de polinomis
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x +3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Divisió de polinomis
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ai / 3a = (15/3) (ai) / a = 5 i
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Expressions algebraiques (binomi a el quadrat)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x +9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x +9
Teorema de la resta
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81-27 + 2 = 56
Multiplicació de monomis
axn · bxm = (a · b) x n + m
(5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Divisió de monomis
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ai / 3a = (15/3) (ai) / a = 5 i
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Suma i resta de monomis
Exercici: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Solució: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x +3
