L' àlgebra és una branca de la matemàtica que empra nombres, lletres i signes per fer referència a les diferents operacions aritmètiques que es realitzen. En l'actualitat l'àlgebra com a recurs matemàtic s'usa en les relacions, estructures i quantitat. L'àlgebra elemental és el més comú ja que és el que empra operacions aritmètiques com la suma, resta, multiplicació i divisió ja que a diferència de l'aritmètica, aquesta es val de símbols com xi sent els més comuns en lloc d'usar nombres.
Què és l'àlgebra
Taula de Continguts
És la branca que pertany a la matemàtica, la qual permet desenvolupar i resoldre problemes aritmètics a través de lletres, símbols i números, que al seu torn simbolitzen objectes, subjectes o grups d'elements. Aquesta permet formular operacions que contenen nombres desconeguts, anomenats incògnites i que fa possible el desenvolupament d'equacions.
Mitjançant l'àlgebra, l'home ha pogut comptabilitzar de forma abstracta i genèrica, però també més avançada, a través de càlculs més complexos, desenvolupats per intel·lectuals matemàtics i físics com ara sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) o Carl Friedrich Gauss (1777-1855), gràcies a les aportacions de es té la definició d'àlgebra com es coneix avui dia.
No obstant això, segons la història de l'àlgebra, Diofant d'Alexandria (data de naixement i mort desconeguts, es creu que va viure entre els segles III i IV), va ser realment el pare d'aquesta branca, ja que va publicar una obra anomenada Arithmetica, la qual constava de tretze llibres i en els quals exposava problemes amb equacions que, encara que no corresponien a un caràcter teòric, eren adequats per a solucions generals. Això va ajudar a definir què és l'àlgebra, i entre molts de les aportacions que va realitzar, va ser la implementació dels símbols universals per a la representació d'una incògnita dins de les variables de el problema a resoldre.
L'origen de la paraula "àlgebra", prové de l'àrab i significa "restauració" o "reconeixement". De la mateixa manera té el seu significat en el llatí, que correspon a "reducció", i, encara que no són termes idèntics, signifiquen el mateix.
Com a eina addicional per a l'estudi d'aquesta branca, es pot comptar amb la calculadora algebraica, que són calculadores que poden graficar les funcions algebraiques. Permetent d'aquesta manera integrar, derivar, simplificar expressions i graficar les funcions, realitzar matrius, resoldre equacions, entre altres funcions, tot i que aquesta eina és més d'acord per a un nivell superior.
Dins de l'àlgebra es troba el terme algebraic, que és el producte d'un factor numèric de al menys una variable d' lletra; en el qual cada terme poden diferenciar el seu coeficient numèric, les seves variables representades per lletres i el grau de el terme a l'sumar els exponents dels elements literals. Això vol dir, que per al terme algebraic p5qr2, el coeficient serà 1, el seu part literal serà p5qr2, i el seu grau serà 5 + 1 + 2 = 8.
Què és una expressió algebraica
És una expressió conformada per constants senceres, variables i operacions algebraiques. Una expressió algebraica està constituïda per signes o símbols i es compon d'altres elements específics.
En l'àlgebra elemental, així com en l'aritmètica, les operacions algebraiques que s'utilitzen per a la solució dels problemes, són: l'addició o suma, la sostracció o resta, la multiplicació, la divisió, la potenciació (multiplicació d'un factor diverses vegades) i la radicació (operació inversa de la potenciació).
Els signes utilitzats en aquestes operacions són els mateixos de l'aritmètica per a la suma (+) i la resta (-), però per a la multiplicació se substitueix la ics (x) per un punt (.) O poden representar-se amb signes d'agrupació (exemple: cd i (c) (d) equivalen a l'element "c" multiplicat per l'element "d" o CxD) i en la divisió algebraica s'utilitzen dos punts (:).
També s'utilitzen signes d'agrupació, com els parèntesis (), els claudàtors, les claus {} i les ratlles horitzontals. S'usen també els signes de relació, que són aquells que s'utilitzen per indicar que hi ha una correlació entre dues dades i entre els més usats es tenen el de igual a (=), més gran que (>) i menor que (<).
També, es caracteritzen per utilitzar nombres reals (racionals, que inclouen els positius, negatius i el zero, i els irracionals, que són aquells que no poden representar-se com fraccions) o complexos, que són part dels reals, formant un cos algebraicament tancat.
Aquestes són les principals expressions algebraiques
Hi expressions que formen part de l'concepte de què és l'àlgebra, aquestes expressions es classifiquen en dos tipus: els monomis, que són els que tenen un únic sumant; i els polinomis, que té dos (binomis), tres (trinomis) o més sumands.
Alguns exemples de monomis serien: 3x, π
Mentre que alguns polinomis poden ser: 4 × 2 + 2x (binomi); 7aB + 3A3 (trinomi)
És important esmentar que si la variable (en aquest cas "x") es troba en el denominador o dins d'una arrel, les expressions no serien ni monomis ni polinomis.
Què és l'àlgebra lineal
Aquesta àrea de la matemàtica i de l'àlgebra, és la que estudia els conceptes de vectors, matrius, sistemes d'equacions lineals, espais vectorials, transformacions lineals i les matrius. Com es pot observar, té diverses aplicacions l'àlgebra lineal.
La seva utilitat varia des de l'estudi de l'espai de les funcions, que són aquelles que es defineixen per un conjunt X (horitzontal) a un conjunt I (vertical) i s'apliquen per a espais vectorials o topològics; les equacions diferencials, les quals relacionen a una funció (valor que depèn de el segon valor) amb les seves derivades (raó de canvi instantània que fa variar el valor d'una funció determinada); la investigació d'operacions, que aplica mètodes analítics avançats per prendre decisions encertades; fins a la enginyeria.
Un dels eixos principals de l'estudi de l'àlgebra lineal es troba en els espais vectorials, que són conformats per un conjunt de vectors (segments d'una recta) i un conjunt d'escalessis (nombres reals, constants o complexos, que posseeixen magnitud però no la característica vectorial de direcció).
Els principals espais vectorials de dimensió finita, són tres:
- Els vectors en Rn, que representen coordenades cartesianes (eix horitzontal X i eix vertical I).
- Les matrius, que són sistemes rectangulars d'expressions (representades per números o símbols), es caracteritzen per una quantitat de files (usualment representada per la lletra "m") i una quantitat de columnes (representada per la lletra "n"), i s'usen en ciències i l'enginyeria.
- L' espai vectorial de polinomis en una mateixa variable, donat per polinomis que no superen el grau 2, posseeixen coeficients reals i es troben sobre la variable "x".
funcions algebraiques
Es refereix a una funció que correspon a una expressió algebraica, mentre que també satisfà una equació polinòmica (els seus coeficients poden ser monomis o polinomis). Es classifiquen en: racional, irracional i de valor absolut.
- Les funcions racionals senceres, són aquelles expressades en:, on "P" i "Q" representen dos polinomis i "x" la variable, on "Q" és diferent a el polinomi nul, i la variable "x" no anul·li a l'denominador.
- Les funcions irracionals, en què l'expressió f (x) representa un radical, d'aquesta manera:. Si el valor de "n" és parell, el radical serà definit perquè g (x) sigui més gran i igual a 0, ia més s'ha d'indicar el signe de el resultat, ja que sense aquest, no podria parlar-se d'una funció, atès que per a cada valor de "x" s'haurien dos resultats; mentre que si l'índex de l'radical és imparell, no resulta necessari això últim, ja que el resultat seria únic.
- Les funcions de valor absolut, on el valor absolut d'un nombre real serà el seu valor numèric deixant de banda el seu signe. Per exemple, 5 vindrà sent el valor absolut tant de 5 com de -5.
Existeixen les funcions algebraiques explícites, en què la seva variable "i" serà el resultat de la combinació de la variable "x" una quantitat limitada de vegades, usant les operacions algebraiques (per exemple, la suma algebraica), les que inclouen l'elevació a potències i l'extracció d'arrels; això es traduiria al fet que i = f (x). Un exemple d'aquest tipus de funció algebraica podria ser la següent: i = 3x + 2 o el que seria el mateix: (x) = 3x + 2, ja que "i" està expressada només en termes de "x".
D'altra banda, es troben les implícites, que són aquelles en què la variable "i" no s'expressa només en funció de la variable "x", de manera que i ≠ f (x). Com a exemple d'aquest tipus de funció, es té: i = 5x3y-2
Exemples de funcions algebraiques
Existeixen al menys 30 tipus de funcions algebraiques, però entre les més destacades, es tenen els següents exemples:
1. Funció explícita: ƒ () = sin
2. Funció implícita: ix = 9 × 3 + x-5
3. Funció polinòmica:
a) Constant: ƒ () = 6
b) Primer grau o lineal: ƒ () = 3 + 4
c) Segon grau o quadràtica: ƒ () = 2 + 2 + 1 o (+1) 2
d) Tercer grau o cúbica: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Funció racional: ƒ
5. Funció potencial: ƒ () = - 1
6. Funció radical: ƒ () =
7. Funció per seccions: ƒ () = si 0 ≤ ≤ 5
Què és l'àlgebra de Baldor
Quan es parla de què és l'àlgebra de Baldor, es refereix a una obra desenvolupada pel matemàtic, professor, escriptor i advocat Aurelio Baldor (1906-1978), la qual va ser publicada l'any 1941. En la publicació de professor, qui va néixer a l'Havana, Cuba, es ressenyen 5.790 exercicis equivalents a una mitjana de 19 exercicis per prova.
Baldor va publicar altres obres, com ara "Geometria plana i de l'espai", "Trigonometria de Baldor" i "Aritmètica de Baldor", però la que més ha tingut impacte en l'àmbit d'aquesta branca ha estat el "Àlgebra de Baldor".
Aquest material, però, és més recomanat per al nivell educatiu mitjà (com el de secundària), ja que per a nivells superiors (universitari) amb prou feines serviria com a complement per a altres textos més avançats i acords a aquest nivell.
La famosa portada en què apareix el matemàtic, astrònom i geògraf persa musulmà Al-Juarismi (780-846), ha representat confusió entre els estudiants que s'han servit d'aquesta famosa eina matemàtica, ja que es pensa que aquest personatge es tracta d' el seu autor Baldor.
El contingut de l'obra es troba dividit en 39 capítols i un apèndix, el qual conté taules de càlculs, quadre de formes bàsiques de descomposició de factors i taules d'arrels i potències; i a la fi de el text es troben les respostes dels exercicis.
A l'inici de cada capítol es troba una il·lustració que reflecteix una ressenya històrica sobre el concepte que es desenvoluparà i explicarà a continuació, i esmenta a personatges històrics destacats en el camp, d'acord a l'context històric en què s'ubiqui la referència de l'concepte. Aquests personatges van des Pitàgores, Arquimedes, Plató, Diofant, Hipatia i Euclides, fins René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck i Albert Einstein.
A què es va deure la fama d'aquest llibre?
El seu èxit radica que és, a més d'una famosa obra literària obligatòria en les secundàries de Llatinoamèrica, el llibre més consultat i complet sobre la matèria, per contenir una explicació clara sobre els conceptes i les seves equacions algebraiques, així com dades històriques sobre els aspectes a estudiar, en el qual es maneja el llenguatge algebraic.
Aquest llibre és la iniciació per excel·lència per als estudiants dins el món algebraic, tot i que per a alguns representa una font d'estudis d'inspiració i per a altres sigui temut, la veritat és que és una bibliografia obligatòria i ideal per a la millor comprensió dels temes abastats.
Què és l'àlgebra booleana
El matemàtic anglès George Boole (1815-1864), va crear un grup de lleis i regles per a realitzar operacions algebraiques, a al punt que se li va donar el seu nom a una part d'ella. Per això, el matemàtic i lògic anglès, és considerat com un dels precursors de les ciències de la computació.
En els problemes lògics i filosòfics, les lleis que Boole va desenvolupar van permetre simplificar en dos estats, que són l'estat veritable o l'estat fals, ja aquestes conclusions s'arribaven mitjançant una via matemàtica. Alguns sistemes de control implementats, com ara contactors i relés fan servir components oberts i tancats, sent el obert el que condueix i el tancat el que no ho fa. A això es coneix com tot o res en el que és l'àlgebra booleana.
Tals estats tenen una representació numèrica 1 i 0, on l'1 representa la veritat i el 0 a la falsedat, el que fa més fàcil el seu estudi. D'acord a tot això, qualsevol component de tota mena o gens pot ser representat per una variable lògica, la qual cosa significa que aquesta podrà presentar el valor 1 o 0, a aquestes representacions se'ls coneix com a codi binari.
L'àlgebra booleana permet simplificar els circuits lògics o de commutació lògica dins de l'electrònica digital; també a través d'ella, es poden realitzar càlculs i operacions lògiques dels circuits d'una forma més expressa.
En l'àlgebra booleana ha tres procediments fonamentals, que són: el producte lògic, la porta AND o funció intersecció; la suma lògica, porta OR o funció unió; i la negació lògica, porta NOT o funció complement. També hi ha diverses funcions auxiliars: negació del producte lògic, porta NAND; negació de la suma lògica, porta NOR; suma lògica exclusiva, porta XOR; i negació de la suma lògica exclusiva, porta XNOR.
Dins de l'àlgebra de Boole, hi ha una quantitat de lleis, entre les que es tenen:
- Llei d'anul·lació. També anomenada llei cancelativa, diu que en algun exercici després d'un procés, s'anul·larà el terme independent, de manera que (AB) + A = A i (A + B).A = A.
- Llei d'identitat. O d'identitat dels elements 0 i 1, estableix que una variable a la qual se li sumi l'element nul o 0, serà igual a la mateixa variable A + 0 = A de la mateixa manera que si la variable és multiplicada per 1, el resultat serà el mateix A.1 = A.
- Llei idempotent. Estableix que pot realitzar-se una acció determinada diverses vegades i obtenir el mateix resultat, de manera que, si es té una conjunció A + A = A i si es té una disjunció AA = A.
- Llei commutativa. Aquesta es refereix al fet que no importa l'ordre en què les variables es troben, de manera que A + B = B + A.
- Llei de doble negació. O d'involució, estableix que si a una negació se li dóna una altra negació, resultarà un positiu, de manera que (A ')' = A.
- Teorema de Morgan. Aquestes diuen que la suma d'alguna quantitat de variables negades en general, serà igual a l'producte de cada variable negada independentment, llavors (A + B) '= A'.B' i (AB) '= A' + B '.
- Llei distributiva. Estableix que quan s'ajunten algunes variables, les quals es multiplicaran per una altra variable externa, serà igual que multiplicar cada variable agrupada per la variable externa, a manera de: A (B + C) = AB + AC.
- Llei d'absorció. Aquesta diu que si una variable A implica una variable B, llavors la variable A implicarà A i B, i A serà "absorbida" per B.
- Llei associativa. A la disjunció o a l'ajuntar diverses variables, el resultat serà el mateix no important la seva agrupament; de manera que en l'addició A + (B + C) = (A + B) + C (el primer element més l'associació dels dos últims, és igual a l'associació dels dos primers més l'últim).
