Es diu real a un nombre que pot ser racional i irracional, per tant aquest conjunt de nombres és la unió del conjunt dels nombres racionals (fraccions) i el conjunt dels nombres irracionals (no poden expressar-se com fracció). Els nombres reals cobreixen la recta real i qualsevol punt d'aquesta és un nombre real, i es designen amb el símbol R.
Característiques dels nombres reals:
- El conjunt dels nombres reals és el conjunt de tots els nombres que corresponen als punts de la recta.
- El conjunt dels nombres reals és el conjunt de tots els nombres que poden expressar-se amb decimals infinits o finits periòdics o no periòdics.
Els nombres irracionals es distingeixen dels racionals per posseir infinites xifres decimals que no es repeteixen mai, és a dir, no periòdiques. Per això no poden ser exposats en forma de fracció de dos enters. Alguns nombres irracionals es distingeixen d'altres nombres mitjançant símbols. Per exemple: ℮ = 2,7182, π = 3,1415926535914039.
A la recta real es simbolitzen els números reals, a cada punt de la recta li competeix un nombre real ia cada nombre real li competeix un punt en la recta, com a conseqüència no es pot parlar de el següent a un nombre real com en el cas de els nombres naturals. Els nombres racionals es situen a la recta numèrica de tal manera que en cada tram, per petit que sigui hi ha infinits. No obstant això i encara que sembli estrany, hi ha infinits buits que són ocupats pels nombres irracionals. Per tant entre dos nombres reals qualssevol, X i Y hi ha infinits racionals i infinits irracionals, entre tots omplen la recta.
Operacions amb nombres reals:
La forma de fer les operacions amb nombres reals depenen de com estiguin representats els nombres. Si tots els operands són nombres racionals, es realitzen les operacions utilitzant fraccions. Si cal operacionalitzar amb irracionals l'única forma de manejar valors exactes és deixant-los com està. Si cal operacionalitzar numèricament caldrà usar els seus representacions decimals i com són decimals infinits el resultat només podrà donar-se de forma propera.
Aproximació per defecte o per excés:
L'aproximació dels nombres irracionals en la seva representació decimal pot ser:
- Per defecte: si el valor que es va aproximar és menor que el nombre.
- Per excés: si el valor que es va aproximar és més gran
Per exemple per el nombre π les aproximacions per defecte són 3 <3,1 <3,14 <3,141 i per excés 3,1416 <3,142 <3,15 <3,2. Aproximació per arrodoniment o per truncament:
Les xifres significatives són totes aquelles que s'utilitzen per a expressar un nombre aproximat, hi ha dues formes d'aproximar nombres:
Per arrodoniment: si la primera xifra no significativa és 0,1,2,3,4 l'anterior roman igual, en canvi sí que és 5,6,7,8,9 la xifra anterior s'augmenta en una unitat, per exemple: 3, 74281≈ 3,74 i 4,29612 ≈ 4,30.
Aproximació per truncament: s'eliminen les xifres no significatives per exemple: 3,74281≈3,74 i 4,29612 ≈ 4,29.
Notació científica:
Quan es vol expressar nombres reals molt grans o molt petits es fa servir la notació científica:
- La part sencera formada per una sola xifra, que no pot ser 0.
- La resta de les xifres significatives s'escriuen com a part decimal.
- Una potència de base deu que dóna l'ordre de magnitud de l'nombre.
És important recalcar que en la notació científica si l'exponent és positiu el nombre és gran i si és negatiu el nombre és petit exemple: 6,25 x 1011 = 625.000.000.000.
